中國數學的發展

『數學乃科學之母』，數學與科學有不能分割的關係，數學是理論而科技是實踐。在上古時期，中國的數學已發展得略具雛型。當時的曆法、記數法、幾何學、圓等的概念已相當準確，領先了西方五百多年，不但影響了中國古代的天文、建築和農業，更影響了人類的科技發展。是中國歷史其中一項偉大的成就

十進記數

在殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數的文字。從一到十，及百、千、萬是專用的記數文字，合共有十三個符號，足以證明中國遠古以用十進制。

春秋時代，算籌成為普遍的計算工具。用算籌記數，有縱、橫兩種方式：

數字	1	2	3	4	5	6	7	8	9
縱式
橫式

圓周率

圓周之長與其直徑長之比，稱為圓周率，計算出圓周率近似值之精密程度，被科學家認為技術進步之尺度。中國古代對圓周率加以研究者，首先要算魏晉時期的劉歆，繼而有張衡、劉徽、王蕃、皮延宗、祖沖之父子等。其中南北朝時代的祖沖之算出圓周率在３﹒１４１５９２６和３﹒１４１５９２７之間，以３５５／１１３為密率，為２２／７約率，領先世界近千餘年。西方直至紀元一六零零年，才有數學家求得和祖沖之之值一致。

幾何學

幾何學中的勾股定理﹝西方稱畢氏定理﹞為中國幾何學的一大成就。此理論出於周髀算經，為直角三角形定理。在紀元前五百餘年，希臘數學家畢達哥拉斯﹙Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓ﹚曾發明此定理，約晚於周髀算經五百餘年。周髀算經雖發明在畢氏之前，但未公於世，故世界各國均認定為畢氏所發明者。此定理影響了中國建築業和手工業的發展，令建築更加準確，更多的大型工程能興建起來。

戰國時期，齊國人著的《考工記》匯總了當時手工業技術的規範，包含了一些測量的內容，並涉及到一些幾何知識，例如角的概念。戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，一些學派還總結和概括出與數學有關的許多抽象概念。著名的有《墨經》中關於某些幾何名詞的定義和命題，例如：「圓，一中同長也」、「平，同高也」等等。這些許多幾何概念的定義，對現代數學也有深遠影響。

珠算

珠算起於何時，說法不一，但算盤之名的出現，則見於明朝著作。算盤是一種計算工具，時至今日，中、日、韓猶在使用，據可考者，從明朝起開始盛行，而將籌算推倒。事實上珠算為籌算的改良，把籌算搬運費時，散漫難數的缺點改善過來。算盤是把定數的珠，用竹籤或或金屬線條將算珠串起來，便於運算時撥動。此種改良，對人類日常生活上的貢獻，確實是相當偉大的。

數學歷史

春秋戰國時期，中國的人民已有簡單的數學概念。在殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數的文字。從一到十，及百、千、萬是專用的記數文字，共有十三個獨立符號，記數用合文書寫，其中有十進位制的記數法，出現最大的數字為三萬。

之後中國出現了簡單的運算工具-算籌。籌算直到十五世紀元朝末年才逐漸為珠算所取代，中國古代數學就是在籌算的基礎上取得其輝煌成就的。

在幾何學方面《史記．夏本記》中說夏禹治水時已使用了規、矩、准、繩等作圖和測量工具，並早已發現「勾三股四弦五」這個勾股定理的特例。戰國時期，齊國人著的《考工記》匯總了當時手工業技術的規範，包含了一些測量的內容，並涉及到一些幾何知識，例如角的概念。

戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，一些學派還總結和概括出與數學有關的許多抽象概念。著名的有《墨經》中關於某些幾何名詞的定義和命題，例如：「圓，一中同長也」、「平，同高也」等等。墨家還給出有窮和無窮的定義。《莊子》記載了惠施等人的名家學說和桓團、公孫龍等辯者提出的論題，強調抽象的數學思想，例如「至大無外謂之大一，至小無內謂之小一」、「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」等。這些許多幾何概念的定義、極限思想和其他數學命題是相當可貴的數學思想，但這種重視抽象性和邏輯嚴密性的新思想未能得到很好的繼承和發展。

此外，講述陰陽八卦，預言吉凶的《易經》已有了組合數學的萌芽，並反映出二進制的思想。

初創時期

秦漢是中國古代數學體系的形成時期。為使不斷豐富的數學知識系統化、理論化，數學方面的專書陸續出現。

西漢末年﹝公元前一世紀﹞編纂的天文學著作《周髀算經》在數學方面主要有兩項成就：﹝一﹞提出勾股定理的特例及普遍形式；﹝二﹞測太陽高、遠的陳子測日法，為後來重差術的先驅。此外，還有較複雜的開方問題和分數運算等。

《九章算術》是一部經幾代人整理、刪補和修訂而成的古代數學經典著作，約成書於東漢初年﹝公元前一世紀﹞。全書採用問題集的形式編寫，共收集了二四六個問題及其解法，分屬於方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內容包括分數四則和比例算法、各種面積和體積的計算、關於勾股測量的計算等。在代數方面，《方程》章中所引入的負數概念及正負數加減法法則，在世界數學史上都是最早的記載；書中關於線性方程組的解法和現在中學講授的方法基本相同。就《九章算術》的特點來說，它注重應用，注重理論聯系實際，形成了以籌算為中心的數學體系，對中國古算影響深遠。它的一些成就如十進位值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，並通過這些國家傳到歐洲，促進了世界數學的發展。

魏晉時期中國數學在理論上有了較大的發展。其中趙爽和劉徽的工作被認為是中國古代數學理論體系的開端。趙爽是中國古代對數學定理和公式進行證明的最早的數學家之一，對《周髀算經》做了詳盡的注釋。劉徽注釋《九章算術》，不僅對原書的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，且在論述過程中多有創新，更撰寫《海島算經》，應用重差術解決有關測量的問題。劉徽其中一項重要的工作是創立割圓術，為圓周率的研究工作奠定理論基礎和提供了科學的算法。

祖沖之父子的工作在這一時期最具代表性，他們在《九章算術》劉徽注的基礎上，將傳統數學大大向前推進了一步，成為重視數學思維和數學推理的典範。他們同時在天文學上也有突出的貢獻。

隋朝大興土木，客觀上促進了數學的發展。唐初王孝通撰《緝古算經》，主要是討論土木工程中計算土方、工程的分工與驗收以及倉庫和地窖的計算問題。

唐朝在數學教育方面有長足的發展。六五六年國子監設立算學館，設有算學博士和助教，由太史令李淳風等人編纂注釋《算經十書》，作為算學館學生用的課本。對保存古代數學經典起了重要的作用。

此外，隋唐時期由於曆法需要，創立出二次內插法，為宋元時期的高次內插法奠定了基礎。而唐朝後期的計算技術有了進一步的改進和普及，出現很多種實用算術書，對於乘除算法力求簡捷。

全盛時期

唐朝亡後，五代十國仍是軍閥混戰的繼續，直到北宋王朝統一了中國，農業、手工業、商業迅速繁榮，科學技術突飛猛進。從公元十一世紀到十四世紀﹝宋、元兩代﹞，籌算數學達到極盛，是中國古代數學空前繁榮，碩果累累的全盛時期。這一時期出現了一批著名的數學家和數學著作，列舉如下：賈憲的《黃帝九章算法細草》，劉益的《議古根源》，秦九韶的《數書九章》，李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章算法》、《日用算法》和《楊輝算法》，朱世杰的《算學啟蒙》和《四元玉鑒》等等。

宋元數學在很多領域都達到了中國古代數學，甚至是當時世界數學的巔峰。

西學輸入時期

這一時期從十四世紀中葉明王朝建立到二十世紀清代結束共五百多年。數學除珠算外出現全面衰弱的局面，當中涉及到中算的局限、十三世紀的考試制度中已刪減數學內容、明代大興八段考試制度等複雜的問題，不少中外數學史家仍探討當中涉及的原因。十六世紀末，西方初等數學開始傳入中國，使中國數學研究出現了一個中西融合貫通的局面。鴉片戰爭後，近代高等數學開始傳入中國，中國數學轉入一個以學習西方數學為主的時期。

明代最大的成就是珠算的普及，出現了許多珠算讀本，及至程大位的《直指算法統宗》﹝一五九二﹞問世，珠算理論已成系統，標志著從籌算到珠算轉變的完成。但由於珠算流行，籌算幾乎絕跡，建立在籌算基礎上的古代數學也逐漸失傳，數學出現長期停滯，而中國數學領導世界的地位亦告一段落。

曆法

中國數學的發展促進了曆法的進步。中國農曆配合太陽運行的位置，觀察氣候冷暖的變化，將全年分成二十四個節氣，詳細指出農民春耕、夏耘、秋收、冬藏最適合的時節，使人們的生活和耕作更加方便。中國人很早就注意天文和曆法的研究，在三千多年前的商朝，就有了很進步的曆法。那時的人們觀察太陽和月亮的運行，互相配合，以三百六十五又四分之一天為一年，一年分十二個月，月有大小，大月三十日，小月二十九日，而且還知道用潤月，這是當時全世界最精確的曆法。
經過後代不斷的修正，便是我們通用的農曆，不僅可以計算年、月、日、時，還包括日、月、五星的位置，日月蝕的預報，及二十四節氣的安排。一直到現在，農曆仍被許多中國人使用，有一些節日，也是依據農曆而來。

二十四節氣中以立春、春分、立夏，夏至、立秋、秋分、立冬與冬至等八節氣最為重要。它們之間大約相隔四十六天。一年分為四季，「立」表示四季中每一個季節的開始，而「分」與「至」表示正處於這季節的中間。

現代我國所使用的曆法，皆依迴歸年製定，二十四節氣基本上是一致的，前後的相差不會超過一兩天。有興趣記這些節氣的人，可用下列的速記調﹝每節氣取一個字﹞，或許有幫助。

春雨驚春清穀天，夏滿芒夏暑相連；
秋暑白秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒。
半年在六、廿一，下半年是八、廿三；
每年二月開始算，最多相差一兩天。

中國數學上的有趣問題

中國的數學理論散見各書，當中有些問題極富創造性，其解答方法甚至至今仍有很大的數學價值。這些問題促進了當時中國的數學研究，也令現代的數學家能從另外一方面探討中國的數學，從正面的角度重新評估中國的數學發展。

孫子問題

孫子問題記載於中國古代約公元3世紀成書的《孫子算經》內面，是原書卷下第26題：「今有物不知其數，三三數之剩二；五五數之剩三；七七數之剩二，問物幾何？」答曰：「二十三。」。《孫子算經》中給出了其中關鍵的步驟是：「凡三三數之剩一，則置七十；五五數之剩一，則置二十一；七七數之剩一，則置十五」。因此可設Ｎ＝７０×２＋２１×３＋１５×２－２×１０５＝２３。原題及其解法中的３、５、７後來叫“定母”，７０、２１、１５叫“乘數”。但在《孫子算經》中並沒有說明求乘數的方法，直到一二四七年宋代數學家秦九韶在《數書九章》中才給出具體求法。７０是５與７最小公倍的２倍，２１、１５分別是３與７、３與５最小公倍數的１倍。秦九韶稱這２、１、１的倍數為“乘率”，求出乘率，就可知乘數。

百雞問題

本問題記載於中國古代約５－６世紀成書的《張邱建算經》中，是原書卷下第３８題，也是全書的最後一題：「今有雞翁一，值錢伍；雞母一，值錢三；雞鶵三，值錢一。凡百錢買雞百隻，問雞翁、母、鶵各幾何？答曰：雞翁四，值錢二十；雞母十八，值錢五十四；雞鶵七十八，值錢二十六。又答：雞翁八，值錢四十；雞母十一，值錢三十三，雞鶵八十一，值錢二十七。又答：雞翁十二，值錢六十；雞母四、值錢十二；雞鶵八十四，值錢二十八。」該問題導致三元不定方程組，其重要之處在於開創「一問多答」的先例，這是過去中國古算書中所沒有的。原書沒有給出解法，只說如果少買７隻母雞，就可多買４隻公雞和３隻小雞。所以只要得出一組答案，就可以推出其餘兩組答案。中國古算書的著名校勘者甄鸞和李淳風注釋該書時都沒給出解法，只有約６世紀的算學家謝察微記述過一種不甚正確的解法。到了清代，研究百雞術的人漸多，１８１５年駱騰風使用大衍求一術解決了百雞問題。１８７４年丁取忠創用一個簡易的算術解法。在此前後時曰醇（約１８７０）推廣了百雞問題，作《百雞術衍》，從此百雞問題和百雞術才廣為人知。百雞問題還有多種表達形式，如百僧吃百饅，百錢買百禽等。宋代楊輝算書內有類似問題，中古時近東各國也有相仿問題流傳。例如印度算書和阿拉伯學者艾布 卡米勒的著作內都有百錢買百禽的問題，且與《張邱建算經》的題目幾乎全同。